Ejercicios de Hipotesis (Parte II)

Ejercicios

El peso medio de una muestra aleatoria de 81 personas de una determinada población es de 63,6 kg. Se sabe que la desviación típica poblacional es de 6 kg. Con un nivel de significación del 0,05, ¿hay suficientes evidencias para rechazar la afirmación de que el peso medio poblacional es de 65 kg?

Solución

Sea Ho µ=65 kg

Para un nivel se significancia del 0.05 tenemos que Z =1.96 , con lo que el intervalo de confianza para ese nivel de significación es: (65-1,96* 6 / √₈₁, 65+1,96* 6/ √₈₁) = (63.69 , 66.31)

Como la media de la muestra : 63.5 € (63.69 , 66.31) , debemos rechazar la hipótesis.

2-. Se sabe que la renta anual de los individuos de una localidad sigue una distribución normal de media desconocida y de desviación típica 0,24 millones. Se ha observado la renta anual de 16 individuos de esa localidad escogidos al azar, y se ha obtenido un valor medio de 1,6 millones de pesetas.

Contrasta, a un nivel de significación del 5%, si la media de la distribución es de 1,45 millones de pesetas.

1. ¿Cuáles son las hipótesis nula y alternativa del contraste?
2. Determina la forma de la región crítica.
3. ¿Se acepta la hipótesis nula con el nivel de significación indicado?

Solucion

a) H₀ µ = 1.45 millones

H₁ µ ≠ 1.45 millones

b) Como el nivel de confianza es 0,95 Z= 1,96 y la region critica sera:

(1.45-1.96*0.24/ √₁₆, 1.45 + 1. 96 * 0.24 / √₁₆) = (1.332, 1.568)

c) Como 1.6 € (1.332, 1.568) no aceptamos la hipótesis Ho. 

Problemas de contraste de hipótesis

1) 

Se sabe que la desviación típica de las notas de cierto examen de Matemáticas es 2,4. Para una muestra de 36 estudiantes se obtuvo una nota media de 5,6. ¿Sirven estos datos para confirmar la hipótesis de que la nota media del examen fue de 6, con un nivel de confianza del 95%?

1. Enunciamos las hipótesis nula y alternativa:

H₀ : μ = 6      La nota media no ha variado.

H₁ : μ ≠ 6       La nota media ha variado.

2. Zona de aceptación

Para α = 0.05, le corresponde un valor crítico: z_α/2 = 1.96.

Determinamos el intervalo de confianza para la media:

(6-1,96 ·  0,4 ; 6+1,96 ·  0,4) = (5,22 ; 6,78)

3. Verificación.

Valor obtenido de la media de la muestra: 5,6 .

4. Decisión

Aceptamos la hipótesis nula H₀, con un nivel de significación del 5%.

2)

Un sociólogo ha pronosticado, que en una determinada ciudad, el nivel de abstención en las próximas elecciones será del 40% como mínimo. Se elige al azar una muestra aleatoria de 200 individuos, con derecho a voto, 75 de los cuales estarían dispuestos a votar. Determinar con un nivel de significación del 1%, si se puede admitir el pronóstico.

1. Enunciamos las hipótesis nula y alternativa:

H₀ : μ ≥ 0.40      La abstención será como mínimo del 40%.

H₁ : μ < 0.40     La abstención será como máximo del 40%;

2. Zona de aceptación

Para α = 0.01, le corresponde un valor crítico: z_α = 2.33.

Determinamos el intervalo de confianza para la media:

3.Verificación.

4.Decisión

Aceptamos la hipótesis nula H₀. Podemos afirmar, con un nivel de significación del 1%, que la  La abstención será como mínimo del 40%.

3)

Un informe indica que el precio medio del billete de avión entre Canarias y Madrid es, como máximo, de 120 € con una desviación típica de 40 €. Se toma una muestra de 100 viajeros y se obtiene que la media de los precios de sus billetes es de 128 €. 

¿Se puede aceptar, con un nivel de significación igual a 0,1, la afirmación de partida?

1. Enunciamos las hipótesis nula y alternativa:

H₀ : μ ≤ 120     

H₁ : μ > 120      

2.Zona de aceptación

Para α = 0.1, le corresponde un valor crítico: z_α = 1.28 .

Determinamos el intervalo de confianza:

3. Verificación.

Valor obtenido de la media de la muestra: 128 € .

4. Decisión

No aceptamos la hipótesis nula H₀. Con un nivel de significación del 10%. 

4)

Una marca de nueces afirma que, como máximo, el 6% de las nueces están vacías. Se eligieron 300 nueces al azar y se detectaron 21 vacías.

1.Con un nivel de significación del 1%, ¿se puede aceptar la afirmación de la marca?

1   Enunciamos las hipótesis nula y alternativa:

H₀ : p ≤ 0.06     

H₁ : p >0.06    

2Zona de aceptación

α = 0.01      z_α = 2.33.

Determinamos el intervalo de confianza:

3Verificación.

4Decisión

Aceptamos la hipótesis nula H₀. Con un nivel de significación del 1%.

2.Si se mantiene el porcentaje muestral de nueces que están vacías y 1-α = 0.95, ¿qué tamaño muestral se necesitaría para estimar la proporción de nueces con un error menor del 1% por ciento?

1 - α = 0, 9 5            z _α/2 = 1, 96

 

5)

La duración de la bombillas de 100 W que fabrica una empresa sigue una distribución normal con una desviación típica de 120 horas de duración. Su vida media está garantizada durante un mínimo de 800 horas. Se escoge al azar una muestra de 50 bombillas de un lote y, después de comprobarlas, se obtiene una vida media de 750 horas. Con un nivel de significación de 0,01, ¿habría que rechazar el lote por no cumplir la garantía?

1   Enunciamos las hipótesis nula y alternativa:

H₀ : µ ≥ 800     

H₁ : µ <800    

2Zona de aceptación

α = 0.01;    z_α = 2.33

Determinamos el intervalo de confianza:

3Verificación.

x = 750

4Decisión

Rechazamos la hipótesis nula H₀. Con un nivel de significación del 1%. 

6)

Un fabricante de lámparas eléctricas está ensayando un nuevo método de producción que se considerará aceptable si las lámparas obtenidas por este método dan lugar a una población normal de duración media 2400 horas, con una desviación típica igual a 300. Se toma una muestra de 100 lámparas producidas por este método y esta muestra tendrá una duración media de 2320 horas. ¿Se puede aceptarr la hipótesis de validez del nuevo proceso de fabricación con un riesgo igual o menor al 5%?

1   Enunciamos las hipótesis nula y alternativa:

H₀ : μ = 2400     

H₁ : μ ≠2400      

2Zona de aceptación

α = 0.05      z_α = 1.96.

Determinamos el intervalo de confianza para la media:

3Verificación.

Valor obtenido de la media de la muestra: 2320 .

4Decisión

Rechazamos la hipótesis nula H₀, con un nivel de significación del 5%. 

7)

El control de calidad una fábrica de pilas y baterías sospecha que hubo defectos en la producción de un modelo de batería para teléfonos móviles, bajando su tiempo de duración. Hasta ahora el tiempo de duración en conversación seguía una distribución normal con media 300 minutos y desviación típica 30 minutos. Sin embargo, en la inspección del último lote producido, antes de enviarlo al mercado, se obtuvo que de una muestra de 60 baterías el tiempo medio de duración en conversación fue de 290 minutos. Suponiendo que ese tiempo sigue siendo Normal con la misma desviación típica:

¿Se puede concluir que las sospechas del control de calidad son ciertas a un nivel de significación del 2%?

1   Enunciamos las hipótesis nula y alternativa:

H₀ : µ ≥ 300     

H₁ : µ < 300    

2Zona de aceptación

α = 0.02;   1- α = 0. 98;       P(1.96)= 0. 98;     z_α = 1.96 .

Determinamos el intervalo de confianza:

3Verificación.

µ = 290

4Decisión

Rechazamos la hipótesis nula H₀. Con un nivel de significación del 2%. 

8)

Se cree que el nivel medio de protombina en una población normal es de 20 mg/100 ml de plasma con una desviación típica de 4 miligramos/100 ml. Para comprobarlo, se toma una muestra de 40 individuos en los que la media es de 18.5 mg/100 ml. ¿Se puede aceptar la hipótesis, con un nivel de significación del 5%?

1   Enunciamos las hipótesis nula y alternativa:

H₀ : μ =20 mg/100 ml      

H₁ : μ ≠ 20 mg/100 ml       

2Zona de aceptación

Para α = 0.05, le corresponde un valor crítico: z_α/2 = 1.96.

Determinamos el intervalo de confianza para la media:

3Verificación.

Valor obtenido de la media de la muestra: 18.5.

4Decisión

Rechazamos la hipótesis nula H₀, con un nivel de significación del 5%.