Uso de valores P para la toma de decisiones
Al probar hipótesis en las que la estadística de prueba es discreta, la región crítica se puede elegir de forma arbitraria y determinar su tamaño. Si

Por generaciones enteras de análisis estadístico, se ha hecho costumbre elegir un nivel de significancia de 0.05 ó 0.01 y seleccionar la región crítica en consecuencia. Entonces, por supuesto, el rechazo o no rechazo estricto de Ho dependerá de esa región crítica. En la estadística aplicada los usuarios han adoptado de forma extensa la aproximación del valor P. La aproximación se diseña para dar al usuario una alternativa a la simple conclusión de "rechazo" o "no rechazo".
La aproximación del valor P como ayuda en la toma de decisiones es bastante natural pues casi todos los paquetes de computadora que proporcionan el cálculo de prueba de hipótesis entregan valores de P junto con valores de la estadística de la prueba apropiada.
- Un valor P es el nivel (de significancia) más bajo en el que el valor observado de la estadística de prueba es significativo.
- El valor P es el nivel de significancia más pequeño que conduce al rechazo de la hipótesis nula Ho.
- El valor P es el mínimo nivel de significancia en el cual Ho sería rechazada cuando se utiliza un procedimiento de prueba especificado con un conjunto dado de información. Una vez que el valor de P se haya determinado, la conclusión en cualquier nivel
particular resulta de comparar el valor P con
- Valor P
Þ rechazar Ho al nivel
.
- Valor P >
Þ No rechazar Ho al nivel
Ensayo Unilateral Derecho:



Ejemplos:
- Calcular el valor de P para el primer ejemplo de ensayo de hipótesis en donde se quería probar que la edad media de los habitantes de Estados Unidos es superior a 70 años.
- Ensayo de hipótesis Ho;
- Regla de decisión: Si P
- Cálculos:
- Justificación y decisión:

H1;



Si P > 0.05 No se rechaza Ho.

Esta es el valor de Z que se utilizará para calcular el valor de P, como es un ensayo unilateral derecho se calculará el área a la derecha de este valor.

- Calcular el valor de P para el ejemplo 7 de esta sección en donde se tiene dos máquinas y se quiere ver si tienen la misma cantidad promedio de llenado en las botellas de plástico.
- Ensayo de hipótesis


H1;




- Regla de Decisión:

Si P > 0.05 No se rechaza Ho
- Cálculos:


Como el valor de P es mayor al de

- Se afirma que un automóvil se maneja en promedio más de 20,000 kilómetros por año. Para probar esta afirmación, se pide a una muestra de 100 propietarios de automóviles que lleven un registro de los kilómetros que viajen. ¿Está de acuerdo con esta afirmación si la muestra aleatoria tiene un promedio de 23,500 kilómetros y una desviación estándar de 3900 kilómetros? Utilice un valor P para su conclusión.
En este ejercicio no nos manejan ningún valor de

- Ensayo de hipótesis Ho;
- Cálculos:
- Decisión. Se observa que este valor de Z es muy grande, ni siquiera se encuentra en la tabla, entonces quiere decir que el área a la derecha de ese valor es cero y este sería el valor de P, por lo que no apoya a la hipótesis nula y se concluye que los automóviles se manejan en promedio más de 20,000 kilómetros por año.
- Se estudia la fracción de circuitos integrados defectuosos producidos en un proceso de fotolitografía. Para ello se somete a prueba una muestra de 300 circuitos, en la que 13 son defectuosos. Utilice los datos para probar
Ho: P=0.05 contra H1: P

H1;


Solución:
- Ensayo de hipótesis
H1; P

- Cálculos:
- Decisión:


Al evaluar un procedimiento de prueba de hipótesis, también es importante examinar la probabilidad del error tipo II, el cual se denota por


Para calcular










Para hacer este cálculo se tendrá un tamaño de muestra de 10 y una desviación estándar de la población de 2.5 cm/s. Además se evaluará el error tipo II con un nivel de significancia de 0.06.
Ho:

H1:


Como ya sabemos se trata de un ensayo bilateral por lo que se tendrá que calcular el valor del estadístico


Para facilitar los cálculos se redondearán estos números a 48.5 y 51.5


Como se puede observar en cada calculo del valor




En caso que no estén equidistantes se tienen que calcular por separado y calcular los valores correspondientes de z porque en ocasiones se tiene un área que no está dentro de la región de aceptación, la cual no se tiene que tomar en cuenta para evaluar al error tipo II.
A continuación se procederá a generar algunas curvas características de operación para evaluar al error tipo II, entre más se aleja el valor verdadero de la media de la media de la hipótesis nula, menor es la probabilidad del error tipo II para un tamaño de muestra y nivel de significancia dadas. A medida que el tamaño de la muestra aumenta la probabilidad de cometer el error tipo II disminuye. Esto se observará en los ejercicios siguientes.
Ejemplos:
- Generar una curva característica de operación para el ejercicio número 1 de la sección de ensayo de hipótesis con las siguientes medias supuestas:

2. Datos:



n = 100

3. Ensayo de hipótesis

H1;







En la mayoría de los libros de estadística existen las curvas características de operación para diferentes tamaños de muestra y éstas se proporcionan tanto para





Si se quisiera consultar en un libro, ¿cuál es la probabilidad de cometer el error tipo II ó




Se comentó anteriormente que si el tamaño de la muestra aumenta los dos tipos de errores


Se calculará el estadístico límite:





- Generar una curva característica de operación (CCO) para el ejercicio 5 de ensayo de hipótesis. Suponer los siguientes valores de P; 0.04, 0.03, 0.025, 0.02 y 0.01. Enseguida se proporciona la información necesaria para realizar la CCO: Datos:
- Genere un CCO para el ejercicio número 6 de la sección anterior. Suponga las siguientes diferencias de medias:
1-
2 =2, 4, 6, 7, 9, 12 y 14.
Datos: - Se require que la tensión de ruptura de un hilo utilizado en la fabricación de material de tapicería se al menos de 100 psi. La experiencia ha indicado que la desviación estándar de la tensión de ruptura es de 2 psi. Se prueba una muestra aleatoria de nueve especímenes, y la tensión de ruptura promedio observada en ella es de 98 psi. ¿Cual es la probabilidad de aceptar la hipótesis nula con un
= 0.05 si la tensión promedio de ruptura verdadera de la fibra es 104 psi?
Solución: - Del ejercicio número 7 de la sección anterior encontrar el error tipo II ó
P= 0.05
p = 4/200 = 0.02
n = 200

Ensayo de hipótesis
Ho; P = 0.05
H1; P < 0.05

Se procederá a calcular el estadístico límite pL:







n1=n2= 10

Ensayo de hipótesis
Ho;


H1;









Ensayo de hipótesis:
Ho;

H1;

Se calcula el estadístico límite:


Datos:




n1=n2 = 10

Ensayo de hipótesis


H1;





- En un estudio para estimar la proporción de residentes de cierta ciudad y sus suburbios que están a favor de la construcción de una planta de energía nuclear, se encuentra que 63 de 100 residentes urbanos están a favor de la construcción mientras que sólo 59 de 125 residentes suburbanos la favorecen. ¿Hay una diferencia significativa entre la proporción de residentes urbanos y suburbanos que favorecen la construcción de la planta nuclear? Use un valor de P para su conclusión.
- Una compañía petrolera afirma que un quinto de las casas en cierta ciudad se calientan con petróleo. ¿Tenemos razón en dudar de esta afirmación si, en una muestra aleatoria de 1000 casas en esta ciudad, se encuentra que 136 se calientan con petróleo? Utilice un nivel de significancia de 0.01.
- Se sabe que la duración, en horas, de un foco de 75 watts tiene una distribución aproximadamente normal, con una desviación estándar de 25 horas. Se toma una muestra aleatoria de 20 focos, la cual resulta tener una duración promedio de 1014 horas.
- ¿Existe evidencia que apoye la afirmación de que la duración promedio del foco es mayor que 1000 horas? Utilice un
= 0.05.
- ¿Cual es el valor P para la prueba?
- ¿Cuál es el valor de
- Se estudia la tasa de combustión de dos propelentes sólidos utilizados en los sistemas de escape de emergencia de aeroplanos. Se sabe que la tasa de combustión de los dos propelentes tiene aproximadamente la misma desviación estándar de 3 cm/s. Se prueban dos muestras aleatorias de 20 especímenes cada una, obteniéndose medias de 18 y 24 cm/s respectivamente.
- Pruebe la hipótesis de que los dos combustibles sólidos tienen la misma rapidez promedio de combustión. Utilice un
= 0.05.
- ¿Cuál es el valor de P de la prueba?
- ¿Cuál es el valor de
- Un artículo publicado en Fortune afirma que casi la mitad de todos los ingenieros continúan sus estudios académicos después de obtener la licenciatura. Un artículo publicado en Engineering Horizons indica que 117 de 484 recién graduados planean continuar sus estudios.
- ¿Los datos publicados en Engineering Horizons son consistentes con los publicados en Fortune?
- Encuentre el valor de P de la prueba.
- En un invierno con epidemia de gripe, una compañía farmacéutica bien conocida estudió 2000 bebes para determinar si la nueva medicina de la compañía era efectiva después de dos días. Entre 120 bebes que tenían gripe y se les administró la medicina, 29 se curaron dentro de dos días. Entre 280 bebés que tenían gripe pero que no recibieron la medicina, 56 se curaron dentro de dos días. ¿Hay alguna indicación significativa que apoye la afirmación de la compañía de la efectividad de la medicina? Calcule el valor P.
- Se lanza 20 veces una moneda, con un resultado de cinco caras. ¿Esta es suficiente evidencia para rechazar la hipótesis de que la moneda esta balanceada a favor de la alternativa de que las caras ocurren menos de 50% de las veces.? Realice la prueba con un nivel de significancia de 0.03 y cite un valor P.
- Se supone que los neumáticos para automóvil de cierto tipo recién comprados deben llenarse a una presión de 30 lb/pulg2. Se representa con
el verdadero promedio de presión. Encuentre el valor P asociado con cada valor del estadístico z dado para probar Ho;
= 30 contra H1;
30.
a) 2.10 b) –1.75 c) –0.55 d) 1.41 e) –5.3 - Se realizó un experimento para comparar la resistencia a la fractura del acero con níquel maragizado, con el acero de pureza comercial del mismo tipo. Para 32 especímenes, la resistencia promedio muestral fue de 65.6 para el acero de alta pureza, mientras que se obtuvo una media muestral de 59.8 en 38 especímenes del acero comercial. Debido que el acero de alta pureza es más costoso, su uso para cierta aplicación puede justificarse sólo si su resistencia a la fractura excede la del acero de pureza comercial en más de 5. Suponga que ambas distribuciones de resistencias son normales.
- Si se supone que
1 = 1.2 y
2 = 1.1, pruebe las hipótesis pertinentes usando
= 0.001.
- Calcule
para la prueba del inciso anterior cuando
1-
- Se cree que la portada y la naturaleza de la primera pregunta de encuestas por correo influyen en la tasa de respuesta. Un artículo probó esta teoría al experimentar con diferentes diseños de portadas. Una portada sencilla, y la otra utilizó la figura de un paracaidista. Los investigadores especularon que la tasa de devolución sería menor para la portada sencilla.
Portada |
Número de envíos
|
Número de devoluciones
|
Sencilla |
207
|
104
|
Paracaidista |
213
|
109
|
Respuesta a los Problemas propuestos
- z= 2.40; sí, P=0.01
- P<0.0001; concluir que menos de 1/5 de las casas se calientan con petróleo.
- a) z = 2.50; se rechaza Ho b) P = 0.0062 c) 0
- a) Se Rechaza Ho, z= -6.32 b) 0 c) 0.248
- a) Se rechaza Ho, z= -11.36 b) valor P = 0
- No se rechaza Ho, z= 0.93, valor de P = 0.1762
- Rechazar Ho. Valor P = 0.0207
- a) 0.0358 b) 0.0802 c) 0.5824 d) 0.1586 e) 0
- a) z=2.89, no se debe usar el acero de alta pureza o se no se rechaza Ho.
b) 0.2981 - Valor P = 0.4247, no se rechaza Ho.
la solucion del ejercicio 3
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